%2F(dx))%2F(x(dy)%2F(dx)-y)%3Dsqrt((1-x%5E(2)-y%5E(2))%2F(x%5E(2)%2By%5E(2))).jpeg "(x+y(dy)/(dx))/(x(dy)/(dx)-y)=sqrt((1-x^(2)-y^(2))/(x^(2)+y^(2)))")
Transformasi Persamaan Diferensial dengan Teknik Substitusi
Dalam matematika, teknik substitusi adalah salah satu metode yang efektif untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Pada artikel ini, kita akan membahas bagaimana menggunakan teknik substitusi untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang memiliki bentuk tertentu.
Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial yang akan kita bahas adalah:
$\frac{x+y\frac{dy}{dx}}{x\frac{dy}{dx}-y}=\sqrt{\frac{1-x^2-y^2}{x^2+y^2}}$
Teknik Substitusi
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial di atas, kita akan menggunakan teknik substitusi. Langkah pertama adalah dengan membuat substitusi sebagai berikut:
$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta$
Dengan demikian, kita dapat menulis ulang persamaan diferensial di atas dalam bentuk baru sebagai berikut:
$\frac{r\cos\theta+r\sin\theta\frac{d\theta}{dx}}{r\cos\theta\frac{d\theta}{dx}-r\sin\theta}=\sqrt{\frac{1-r^2}{r^2}}$
Penyelesaian Persamaan Diferensial
Dengan menggunakan teknik substitusi di atas, kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial menjadi:
$\frac{dr}{dx}=\pm\frac{\sqrt{1-r^2}}{r}$
Setelah itu, kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial di atas dengan menggunakan metode pemisahan variabel.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kita telah membahas bagaimana menggunakan teknik substitusi untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang memiliki bentuk tertentu. Teknik substitusi ini dapat membantu memudahkan penyelesaian persamaan diferensial yang sulit.
