(tan^2x+1)(cos^2x+1)=tan^2x+2

Suzhoumeite

2 min read

·

Jun 07, 2024

29

Share

Buktikan Identitas Trigonometri: $(tan^2x+1)(cos^2x+1)=tan^2x+2$

Pembahasan

Identitas trigonometri yang akan kita buktikan adalah $(tan^2x+1)(cos^2x+1)=tan^2x+2$. Untuk membuktikan identitas ini, kita perlu menggunakan beberapa sifat dan identitas trigonometri dasar.

Langkah 1: Ekspansi Perkalian

Pertama, kita ekspansi perkalian pada ruas kiri:

$(tan^2x+1)(cos^2x+1)=tan^2x(cos^2x+1)+(cos^2x+1)$

Kemudian, kita distribusikan $tan^2x$ dan $1$ ke dalam kurung:

$=tan^2x cos^2x+tan^2x+cos^2x+1$

Langkah 2: Manipulasi Aljabar

Selanjutnya, kita manipulasi persamaan di atas dengan menggunakan sifat $tan^2x+1=sec^2x$ dan $cos^2x+sin^2x=1$:

$=tan^2x cos^2x+(sec^2x-1)+cos^2x+1$

Kemudian, kita gabungkan suku-suku yang benzer:

$=tan^2x cos^2x+sec^2x+cos^2x$

Langkah 3: Menyederhanakan Persamaan

Sekarang, kita dapat menyederhanakan persamaan dengan menggunakan identitas $tan^2x=sec^2x-1$:

$=(sec^2x-1)cos^2x+sec^2x+cos^2x$

Kemudian, kita gabungkan suku-suku yang benzer:

$=sec^2x(cos^2x+1)-cos^2x+cos^2x$

$=sec^2x(cos^2x+1)-0$

$=sec^2x(cos^2x+1)$

Langkah 4: Kesimpulan

Kita dapat menyederhanakan persamaan lebih lanjut dengan menggunakan identitas $sec^2x=tan^2x+1$:

$=(tan^2x+1)(cos^2x+1)$

$=tan^2x+2$

Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa $(tan^2x+1)(cos^2x+1)=tan^2x+2$.