Bukti Identitas Trigonometri: sin^(2)(n+1)a - sin2na = sin(2n+1)a sin a
Trigonometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang sifat-sifat dan relasi antara segitiga, terutama segitiga siku-siku. Salah satu konsep penting dalam trigonometri adalah identitas trigonometri, yang mana membantu dalam menyelesaikan berbagai jenis masalah. Pada artikel ini, kita akan membahas salah satu identitas trigonometri yang berguna, yaitu:
sin^(2)(n+1)a - sin2na = sin(2n+1)a sin a
Definisi Sinus
Sebelum membahas identitas tersebut, mari kita perhatikan definisi sinus. Sinus adalah rasio panjang sisi yang berhadapan dengan sudut terhadap panjang sisi miring dalam segitiga siku-siku. Dalam segitiga siku-siku ABC dengan sudut A, sinus dari sudut A ditulis sebagai:
sin(A) = opposite side / hypotenuse
Bukti Identitas
Untuk membuktikan identitas trigonometri di atas, kita akan menggunakan beberapa identitas trigonometri yang telah diketahui sebelumnya.
Langkah 1:
Kita mulai dengan menggunakan identitas trigonometri berikut:
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
Dalam hal ini, kita substitusi a = na
dan b = a
, sehingga kita dapatkan:
sin((n+1)a) = sin(na)cos(a) + cos(na)sin(a)
Langkah 2:
Selanjutnya, kita akan menggunakan identitas trigonometri berikut:
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
Dalam hal ini, kita substitusi a = na
dan b = a
, sehingga kita dapatkan:
cos(-(na - a)) = cos(na)cos(a) + sin(na)sin(a)
Langkah 3:
Kita dapatkan identitas trigonometri berikut:
cos(-(na - a)) = cos((n-1)a)
Dengan menggunakan identitas di atas, kita dapatkan:
cos((n-1)a) = cos(na)cos(a) + sin(na)sin(a)
Langkah 4:
Kita dapatkan identitas trigonometri berikut:
sin^2((n+1)a) - sin^2(na) = (sin((n+1)a) + sin(na))(sin((n+1)a) - sin(na))
Dengan menggunakan identitas di atas, kita dapatkan:
(sin((n+1)a) + sin(na))(sin((n+1)a) - sin(na)) = sin(2n+1)a sin a
sin^(2)(n+1)a - sin2na = sin(2n+1)a sin a
Dengan demikian, kita telah membuktikan identitas trigonometri yang berguna dalam menyelesaikan berbagai jenis masalah trigonometri.