y%3D2x%5E2.jpeg "(d^2-3d+2)y=2x^2")
Menyelesaikan Persamaan Differensial (d^2-3d+2)y=2x^2
Persamaan differensial adalah persamaan yang melibatkan suatu fungsi dan turunannya. Persamaan differensial sangat berguna dalam berbagai bidang seperti fisika, biologi, ekonomi, dan lain-lain. Salah satu contoh persamaan differensial adalah (d^2-3d+2)y=2x^2.
Menulis Ulang Persamaan Differensial
Sebelum menyelesaikan persamaan differensial, kita perlu menulisnya dalam bentuk yang lebih familiar. Persamaan differensial (d^2-3d+2)y=2x^2 dapat ditulis ulang dalam bentuk:
$y'' - 3y' + 2y = 2x^2$
Dalam persamaan di atas, $y''$ dan $y'$ masing-masing menyatakan turunan kedua dan turunan pertama dari fungsi $y$ terhadap $x$.
Mencari Solusi Umum
Untuk menyelesaikan persamaan differensial, kita dapat menggunakan metode variasi parameter. Metode ini digunakan untuk mencari solusi umum dari persamaan differensial.
Pertama, kita cari solusi umum dari persamaan diferensial homogen yang terkait, yaitu:
$y'' - 3y' + 2y = 0$
Solusi umum dari persamaan di atas adalah:
$y_c = c_1e^{2x} + c_2e^x$
Kemudian, kita cari solusi partikular dari persamaan differensial yang terkait dengan x^2, yaitu:
$y_p = ax^2 + bx + c$
Dengan mensubstitusikan $y_p$ ke dalam persamaan differensial awal, kita dapat menentukan nilai $a$, $b$, dan $c$.
Mencari Nilai Konstanta
Dengan mensubstitusikan $y_p = ax^2 + bx + c$ ke dalam persamaan differensial awal, kita dapat menentukan nilai $a$, $b$, dan $c$.
$\frac{d^2y_p}{dx^2} - 3\frac{dy_p}{dx} + 2y_p = 2x^2$
$2a - 3(2ax + b) + 2(ax^2 + bx + c) = 2x^2$
Dengan menyamakan koefisien dari x^2, x, dan konstanta, kita dapat menentukan nilai $a$, $b$, dan $c$.
$a = 1, \quad b = 3, \quad c = 2$
Solusi Umum dan Solusi Partikular
Dengan demikian, solusi umum dari persamaan differensial (d^2-3d+2)y=2x^2 adalah:
$y = c_1e^{2x} + c_2e^x + x^2 + 3x + 2$
Solusi umum di atas terdiri dari solusi umum homogen dan solusi partikular. Solusi umum homogen adalah $c_1e^{2x} + c_2e^x$, sedangkan solusi partikular adalah $x^2 + 3x + 2$.
Dalam kesimpulan, persamaan differensial (d^2-3d+2)y=2x^2 dapat diselesaikan dengan menggunakan metode variasi parameter. Solusi umum dari persamaan differensial tersebut adalah $y = c_1e^{2x} + c_2e^x + x^2 + 3x + 2$.
