3-(b-c)3%2B(c-a)3%2B3(a-b)(b-c)(c-a).jpeg "(a-b)3-(b-c)3+(c-a)3+3(a-b)(b-c)(c-a)")
(a-b)³-(b-c)³+(c-a)³+3(a-b)(b-c)(c-a)
Pada artikel ini, kita akan membahas tentang identitas algebra yang cukup populer dan digunakan dalam berbagai konteks matematika. Identitas ini dikenal sebagai:
(a-b)³-(b-c)³+(c-a)³+3(a-b)(b-c)(c-a) = 0
Identitas ini terdiri dari empat suku, yaitu tiga suku pangkat tiga dan satu suku yang berisi tiga faktor. Mari kita analisis lebih lanjut bagaimana identitas ini dapat dibuktikan.
Pembuktian Identitas
Untuk membuktikan identitas ini, kita dapat menggunakan teorema binomial dan beberapa sifat algebra dasar.
1. (a-b)³
Menggunakan teorema binomial, kita dapat tulis:
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
2. -(b-c)³
Menggunakan teorema binomial lagi, kita dapat tulis:
-(b-c)³ = -(b³ - 3b²c + 3bc² - c³)
3. +(c-a)³
Menggunakan teorema binomial sekali lagi, kita dapat tulis:
(c-a)³ = c³ - 3c²a + 3ca² - a³
4. +3(a-b)(b-c)(c-a)
Suku ini dapat diuraikan menjadi:
3(a-b)(b-c)(c-a) = 3(a(b-c))(c-a) = 3(a(b - c + c - a)) = 3(a(b - a)) = 3(a² - ab)
Menggabungkan Suku-Suku
Sekarang, mari kita gabungkan semua suku di atas:
(a-b)³-(b-c)³+(c-a)³+3(a-b)(b-c)(c-a) = (a³ - 3a²b + 3ab² - b³) - (b³ - 3b²c + 3bc² - c³) + (c³ - 3c²a + 3ca² - a³) + 3(a² - ab) = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - b³ + 3b²c - 3bc² + c³ + c³ - 3c²a + 3ca² - a³ + 3a² - 3ab = 0
Maka, kita dapat melihat bahwa identitas ini benar-benar valid.
Kesimpulan
Identitas algebra ini dapat digunakan dalam berbagai aplikasi matematika, seperti algebra, kalkulus, dan geometri. Dengan membuktikan identitas ini, kita dapat memperluas pengetahuan kita tentang sifat-sifat algebra dan cara membuktikan identitas-identitas yang lebih kompleks.
