(c%5E2%2Bd%5E2)%3Dx%5E2%2By%5E2.jpeg "(a^2+b^2)(c^2+d^2)=x^2+y^2")
Identitas Matematika: (a^2+b^2)(c^2+d^2)=x^2+y^2
Dalam matematika, terdapat beberapa identitas yang sangat berguna dalam mengolah rumus-rumus dan persamaan-persamaan. Salah satu identitas yang cukup terkenal adalah rumus yang akan kita bahas dalam artikel ini, yaitu:
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=x^2+y^2
Penurunan Rumus
Untuk membuktikan identitas di atas, kita dapat menggunakan beberapa properti algebra dan trigonometri. Berikut adalah salah satu cara untuk menurunkan rumus tersebut:
(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (a^2+b^2)(c^2+d^2) (membiarkan faktor-faktor tidak berubah) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 (memfaktorkan menggunakan distribusi) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 (menggunakan identitas Pythagoras) = x^2 + y^2
Bukti Lain
Berikut adalah bukti lain yang menggunakan properti trigonometri:
(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (a^2+b^2)(c^2+d^2) (membiarkan faktor-faktor tidak berubah) = (a^2+b^2)(c^2+d^2) * (1) (mengalikan dengan 1) = (a^2+b^2)(c^2+d^2) * (cos^2(θ) + sin^2(θ)) (menggunakan identitas trigonometri) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 (menggunakan identitas trigonometri) = x^2 + y^2
Aplikasi dan Contoh
Identitas di atas memiliki beberapa aplikasi dalam matematika dan fisika, seperti:
- Membantu dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dan persamaan trigonometri
- Digunakan dalam penghitungan jarak dan sudut dalam geometri dan trigonometri
- Berperan dalam beberapa aplikasi fisika, seperti gerak rotasi dan getaran
Contoh:
Jika kita memiliki dua vektor A = 3i + 4j dan B = 2i + j, maka kita dapat menggunakan identitas di atas untuk menghitung perkalian skalarnya:
(3^2+4^2)(2^2+1^2) = x^2 + y^2 (9+16)(4+1) = x^2 + y^2 (25)(5) = x^2 + y^2 125 = x^2 + y^2
Dengan demikian, kita dapat melihat bahwa identitas (a^2+b^2)(c^2+d^2)=x^2+y^2 memiliki banyak aplikasi dan sangat berguna dalam berbagai bidang.
